Kindle 書籍情報
書誌情報
- 出版社
- 早川書房
- 最大 No.
- 5681
感想
- 数学の歴史
- 数学 (特に定理) は発見なのか発明なのか?
- 我々の済む世界、物理、経済、言語様々な分野の説明に数学が何故有用なのか?
を記した本
特に歴史的な側面が前半に多く、キリスト教徒の関係・対立の歴史が出てくる
印象的な箇所
1546 年のトリエント公会議に参加した神学者たちは、「何人も、自らの判断に頼って聖書を曲解し、聖にして母なる教会が昔も今も支持している意味に反して、自己流の解釈をおこなってはならない。聖書の真の意味を判断するのは教会の役割である」と明確に答えている
1566
己らのみが正しいという何とも傲慢な考えだ
教会がガリレオの地動説に反対した本当の理由は、地球が宇宙の中心でなくなるからというよりも、聖書を解釈する教会の権威が脅かされるからだったのだ。
1573
挑戦的な台詞は、通説では彼が裁判の最後に口走ったとされているが、作り話の可能性が高い。
1992 年 10 月 31 日、カトリック教会はようやくガリレオの〝名誉回復〟を決定した。ローマ教皇ヨハネ・パウロ 2 世は、ガリレオが一貫して正しかったことは認めたが、検邪聖省の直接的な批判は避け、
中略
スペインのガリレオ研究者、アントニオ・ベルトラン・マリは次のように記している。
教皇はいまだに自分がガリレオや彼の科学に対して物を言える立場にあると考えている。それこそ、教皇自身が何も変わっていないという証拠だ。彼の態度はガリレオを裁いた裁判官らとなんら変わらない──裁判官の過ちを認めたという点以外は。
1648
以下は義務教育の範囲だと、当間と考えてしまう「三角形の内角の和は 180°」「線上にないある一転を通る平行な線は一本だけ引ける」という平行線の問題。これは自明なのではなく選ばれたことで、義務教育の範囲では、その選ばれた範囲内で空間を扱っているにすぎないという話
一方、〈平行線公準〉と呼ばれる第 5 公理 [訳注:「第 5 公準」とも呼ばれる。公理と公準はほぼ同じ意味] はかなり複雑で、ほかの公理と比べると自明とは言い難い。その公理は、「平面上の 2 直線が 3 本めの直線と交わっていて、同じ側の内角の和が 2 直角よりも小さいとする。このとき、2 直線をその角 のある側に十分に延長すれば、2 直線は必ず交わる」というもの
2852
今日、第 5 公理と同値な命題としてたびたび用いられるのは、「1 本の直線とその直線上以外の 1 点が与えられたとき、その直線と平行でその点を通る直線が 1 本だけ引ける」というものである。これは 5 世紀のギリシャの数学者、プロクロスが自身の注釈書で初めて提唱したものだが、一般的にはスコットランドの数学者、ジョン・プレイフェア (1748∼1819) にちなんで〈プレイフェアの公理〉と呼ばれている。
2860
第 5 公理を別のわかりやすい公理に置き換える試みがおこなわれるようになった。しかし、その試みがことごとく失敗すると、幾何学者たちは面白い発想の転換をおこなった。もし、第 5 公理が成り立たないとしたら? 彼らは経験を当てにするのをやめ、ユークリッドの公理が本当に自明なのかを疑いはじめたのである。意外な最終判決が下ったのは 19 世紀のことだった。ユークリッドの第 5 公理とは別の公理を選ぶことで、新しい種類の幾何学を構築できるというのだ。しかも、この〈非ユークリッド幾何学〉を用いても、ユークリッド幾何学と同じくらい正確に物理的空間を記述することができるのだ!
ここで、“選ぶ”という言葉の意味を少し説明しておこう。数千年間にわたって、ユークリッド幾何学は空間を記述する必然的で唯一の方法と見なされていた。しかし、別の公理を選んでも、同じくらい妥当な説明が可能だとわかると、すべての考え方が一変した。入念に組み立てられた信頼できる演繹体系が、突如としてゲームのようなものに変わってしまったのだ。公理はそのなかでルールの役割を果たすにすぎない。公理を変えれば別のゲームを遊べる。この発見が数学観にもたらした影響は計り知れない。
2869
ユークリッド幾何学の公理は、チェスのルールと同じように、概念として見れば発明である。そして、三角形、平行四辺形、楕円、黄金比など、発明された数々の概念が公理を補っている。一方、ユークリッド幾何学の定理は概して発見であり、発見はさまざまな概念を結び付ける道筋のようなものである。証明から定理が生まれる──つまり、証明可能な事柄を掘り下げて定理を導き出していく
4376
数学では発見に先んじて発明がある、と捉えると面白い
この〈非ユークリッド幾何学〉が、予め用意されていたおかげで、私達は今 GPS の恩恵に預かっているのだから